Pierre de Fermat-(1601-1665)

            Pierre de Fermat, nascido em agosto de 1601 em Beaumont de Lomagne, na França, era filho de Dominique de Fermat, um mercador de couro, e Clarice de Long. Estudou em sua cidade natal e na Universidade de Toulouse, no sul da França. Seus trintas e quatro anos de vida profissional foram todos dedicados a servir a França.

As contribuições de Fermat para o cálculo geométrico e infinitesimal foram inestimáveis. Ele obtinha, com seus cálculos, a área de parábolas e hipérboles, determinava o centro de massa de vários corpos, etc. Em 1934, Louis Trenchard Moore descobriu uma nota de Isaac Newton dizendo que seu cálculo, antes tido como de invenção independente, fora baseado no “método de monsieur Fermat para estabelecer tangentes”. Foi a primeira pessoa a enunciar o pequeno teorema de Fermat, embora a primeira pessoa a publicar a prova do teorema foi Euler em 1736 no artigo "Theorematum Quorundam ad Números Primos Spectantium Demonstratio"

Na geometria analítica, Fermat precede, sem dúvida, a Descartes. Os métodos de Fermat são mais simples do que os de Descartes. Fermat já tem, em 1629, a equação geral da reta, da circunferência e de algumas cônicas. Em 1639 divulga um novo método para determinação de tangentes, estudo que levaria aos máximos e mínimos. Em especial, Fermat formula o princípio do tempo mínimo, da óptica, que é o primeiro (1657, 1661) dos grandes princípios variacionais da física.

Alguns exemplos para ilustrar o caráter das investigações de Fermat:

1.      Se P é primo e a é primo com p, então a^p-1-1é divisível por p. Por exemplo se p=5 e a=2, então a^p-1-1= 15=5*3. Esse teorema, conhecido como pequeno teorema de Fermat. A primeira demonstração publicada desse teorema data de 1736 e é devida a Euler.

2.      Todo número primo impar pode ser expresso como a diferença de dois quadrados de uma e uma só, maneira. Fermat deu uma demonstração simples desse fato. Se p é um primo impar, pode-se verificar facilmente que

P=(p+1)²  - (p-1)²         

            ^{2                   2}

                Por outro lado, se p=x² – y², então p=(x+y)(x-y). Mas, como p é primo, os            únicos fatores de p são 1 e p, daí x+y=p e x-y=1 ou x=(p+1)/2 e y=(p-1)/2.

3.      Um número da forma 4n+1 pode ser representado como a soma de dois quadrados. Por exemplo, 5=4+1, 13=9+4, 17=16+1, 29=25+4. A primeira demonstração publicada desse resultado, incluindo a unicidade da representação, é de Euler e data de 1754.

Demonstração:

                Por absurdo, supõe-se que 4n+1 não é soma de dois quadrados.
Pelo método da descida infinita, há sempre um inteiro menor desta forma que não é soma de dois quadrados.
                Usando esta relação recursiva para trás chega-se à falsa conclusão de que o menor inteiro deste tipo, o número 5, não é soma de dois quadrados. ABSURDO, pois 5= 1²+2².
Conclui-se que 4n+1 pode ser sempre escrito como soma de dois quadrados, como queríamos demonstrar.

O Último Teorema de Fermat

Por volta de 1637, Fermat estudava problemas e soluções relacionados ao Teorema de Pitágoras. Ele criou uma equação que, embora fosse semelhante à de Pitágoras, não tinha solução. Ele trocou a potência de 2 para 3, do quadrado para o cubo. Como aparentemente esta nova equação não tinha solução, ele a alterou mais ainda, trocando a potência da equação por números maiores que 3, e igualmente não havia soluções para elas. Assim, Fermat presumiu que não existia um trio de números inteiros que se encaixasse na equação

x^n+ y^n=z^n , onde n representa 3, 4, 5, ...

Fermat escreveu a seguinte anotação na margem do livro Aritmética, de Diofante, o qual foi seu grande guia durante os seus anos de estudo:

"Eu descobri uma demonstração maravilhosa, mas a margem deste papel é muito estreita para contê-la."

A partir daquele momento, nascia o problema que iria confundir e frustrar os matemáticos mais brilhantes do mundo por mais de 350 anos. O ÚLTIMO TEOREMA DE FERMAT, como ficou conhecido, tornou-se o Santo Graal da matemática.

A fama do Último Teorema de Fermat é devida pela dificuldade em demonstrá-lo. No entanto, os comentários de Fermat na margem do seu livro serviam como um desafio ao mundo. Este problema é imensamente difícil e, no entanto, pode ser enunciado de uma forma que qualquer estudante possa entender. À medida em que os anos foram se passando, mais e mais matemáticos brilhantes se viram derrotados e frustrados por fracassarem em sua prova: o Último Teorema de Fermat ganhava notoriedade.

No final do século XIX, um acontecimento inusitado deu nova vida ao problema. Paul Wolfskehl, um industrial alemão, desesperado devido a uma desilusão amorosa, decidiu suicidar-se. Na noite em que planejara cometê-lo, ele começara a ler livros de matemática. Envolveu-se com uma das demonstrações fracassadas do último teorema, e verificou que havia um erro de lógica nela. Passou a noite corrigindo a falha, e quando conseguiu, ficou tão orgulhoso do seu trabalho que decidiu não mais se suicidar. Seu desespero e mágoa desapareceram, a matemática lhe dera uma nova vontade de viver. Em 1908, quando morreu, ele deixou grande parte de sua fortuna como prêmio, a ser entregue ao primeiro que pudesse provar o Último Teorema de Fermat. Nascia o Prêmio Wolfskehl.

Mesmo com este incentivo, o Último Teorema de Fermat parecia não ser capaz de ser demonstrado.

Em 1955, Yutaka Taniyama e Goro Shimura, dois jovens matemáticos talentosos, desenvolveram uma conjectura que, sem perceberem, seria o grande passo para a demonstração definitiva do Último Teorema de Fermat. Mas, mais uma vez, a vida conspirava contra este objetivo. Em 1958,Taniyama cometeu suicídio.

Em 1986, um professor de Princeton, Andrew Wiles, que sonhava em demonstrar o último teorema de Fermat desde que o vira pela primeira vez, ainda menino, na biblioteca de sua cidade, decidiu tornar este sonho realidade. No entanto, fez questão de se preparar para não cometer os mesmos fracassos de seus antecessores, e durante sete anos publicou artigos sobre outros assuntos, de modo a despistar os colegas, enquanto trabalhava em sua obsessão. Durante este período, ele conseguiu fazer grandes descobertas, unificando e criando novas técnicas matemáticas. Em 1993, passados 356 anos desde o desafio de Fermat, Wiles assombrou o mundo ao anunciar a demonstração. Mas, havia uma falha nela. Este erro o fez voltar às pesquisas por mais 14 meses, até que, em 1995, ele ganhou as páginas de jornais do mundo inteiro e 50 mil libras da Fundação Wolfskehl.

Autor: Anderson Delgado Gomes

Referências:

Boyer, Carl. B, Tópicos de História da Matemática para uso em sala de aula: Cálculo, Editora Atual, São Paulo 1993. 
Eves, H, Introdução à História da Matemática, Editora da Unicamp, Campinas 2004. 

http://astro.if.ufrgs.br/bib/newton.htm
http://pt.wikipedia.org/wiki/Ren%C3%A9_Descartes
http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/fermat/teoria_dos_numeros.htm
http://pt.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler