Pierre de Fermat, nascido em agosto de 1601 em Beaumont de Lomagne, na França, era filho de Dominique de Fermat, um mercador de couro, e Clarice de Long. Estudou em sua cidade natal e na Universidade de Toulouse, no sul da França. Seus trintas e quatro anos de vida profissional foram todos dedicados a servir a França.
As contribuições de Fermat para o cálculo geométrico e infinitesimal foram inestimáveis. Ele obtinha, com seus cálculos, a área de parábolas e hipérboles, determinava o centro de massa de vários corpos, etc. Em 1934, Louis Trenchard Moore descobriu uma nota de Isaac Newton dizendo que seu cálculo, antes tido como de invenção independente, fora baseado no “método de monsieur Fermat para estabelecer tangentes”. Foi a primeira pessoa a enunciar o pequeno teorema de Fermat, embora a primeira pessoa a publicar a prova do teorema foi Euler em 1736 no artigo "Theorematum Quorundam ad Números Primos Spectantium Demonstratio"
Na geometria analítica, Fermat precede, sem dúvida, a Descartes. Os métodos de Fermat são mais simples do que os de Descartes. Fermat já tem, em 1629, a equação geral da reta, da circunferência e de algumas cônicas. Em 1639 divulga um novo método para determinação de tangentes, estudo que levaria aos máximos e mínimos. Em especial, Fermat formula o princípio do tempo mínimo, da óptica, que é o primeiro (1657, 1661) dos grandes princípios variacionais da física.
Pelo método da descida infinita, há sempre um inteiro menor desta forma que não é soma de dois quadrados.
Usando esta relação recursiva para trás chega-se à falsa conclusão de que o menor inteiro deste tipo, o número 5, não é soma de dois quadrados. ABSURDO, pois 5= 12+22.
Conclui-se que 4n+1 pode ser sempre escrito como soma de dois quadrados, como queríamos demonstrar.
Alguns exemplos para ilustrar o caráter das investigações de Fermat:
1. Se P é primo e a é primo com p, então ap-1-1é divisível por p. Por exemplo se p=5 e a=2, então ap-1-1= 15=5*3. Esse teorema, conhecido como pequeno teorema de Fermat. A primeira demonstração publicada desse teorema data de 1736 e é devida a Euler.
2. Todo número primo impar pode ser expresso como a diferença de dois quadrados de uma e uma só, maneira. Fermat deu uma demonstração simples desse fato. Se p é um primo impar, pode-se verificar facilmente que
P=(p+1)2 - (p-1)2
2 2
Por outro lado, se p=x2 – y2, então p=(x+y)(x-y). Mas, como p é primo, os únicos fatores de p são 1 e p, daí x+y=p e x-y=1 ou x=(p+1)/2 e y=(p-1)/2.
3. Um número da forma 4n+1 pode ser representado como a soma de dois quadrados. Por exemplo, 5=4+1, 13=9+4, 17=16+1, 29=25+4. A primeira demonstração publicada desse resultado, incluindo a unicidade da representação, é de Euler e data de 1754.
Demonstração:
Por absurdo, supõe-se que 4n+1 não é soma de dois quadrados.Pelo método da descida infinita, há sempre um inteiro menor desta forma que não é soma de dois quadrados.
Usando esta relação recursiva para trás chega-se à falsa conclusão de que o menor inteiro deste tipo, o número 5, não é soma de dois quadrados. ABSURDO, pois 5= 12+22.
Conclui-se que 4n+1 pode ser sempre escrito como soma de dois quadrados, como queríamos demonstrar.
